78557 non sembra essere un numero particolarmente piccolo, tuttavia è – almeno si presume – il più piccolo numero di Sierpiński fino ad oggi. Naturalmente, solo perché non è stato ancora trovato un numero più piccolo non significa che non ci sia un numero di Sierpiński più piccolo da qualche parte. Dopotutto, prima del 78557, c’erano altri 39.278 numeri dispari che devi prima verificare che non siano un numero di Sierpiński.

Il problema del numero minimo di Sierpiński divenne noto con il nome: problema di Sierpiński.
La sfida è controllare i numeri nell’assoluto infinito dei numeri naturali. È difficile specificare o dimostrare che un numero primo non si insinua a un certo punto.

Nel 1962, l’americano John Selfridge dimostrò che 78557 è il numero di Sierpiński. Cinque anni dopo, insieme al matematico Sierpiński, da cui prendono il nome i numeri, predisse che era anche il più piccolo numero di Sierpiński.

Ho cercato i numeri di Sierpiński al computer

Selfridge ha aperto la strada all’applicazione dei computer alla teoria dei numeri e ha sviluppato alcuni dei primi algoritmi per il calcolo dei numeri primi. Ancora oggi, quasi 60 anni dopo, le persone stanno cercando di risolvere il problema del più piccolo numero di Sierpiński con l’aiuto dei computer.

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Poiché i possibili numeri di Sierpiński sono numeri di Proth (k × 2n + 1 ) il primato dei numeri può essere testato più facilmente di molti altri numeri di dimensioni simili. La primitività di questi numeri può essere verificata utilizzando il teorema di Broth: ciò consente di eseguire i calcoli su un computer.

Nel 2002, i numeri dispari che potevano essere i numeri di Sierpiński e inferiori a 78557 furono ridotti a 17. Di conseguenza, due studenti americani lanciarono il progetto “Seventeen or Bust”. Prende il nome da 17 cifre che devono ancora essere identificate come numeri di Sierpiński.

La dimostrazione è completa finché non si trova un numero primo

Dopo la pianificazione e la programmazione, il progetto è andato online il 1° aprile. L’obiettivo era dimostrare che 78557 è il più piccolo numero di Serpesky. I computer continuavano a contare con i numeri finché il risultato non mostrava un numero primo. Se non appare nessun numero primo, l’aritmetica continuerà per sempre.

Tutto ciò di cui hai bisogno per partecipare alla joint venture informatica è un computer e una connessione Internet. Solo nel 2002, cinque numeri sarebbero stati esclusi come possibili numeri di Cerbiski. Entro il 2007 si potrebbero escludere altre sei cifre. Per ragioni sconosciute, i server del progetto si sono guastati nel 2016 e i backup sono andati perduti. Questo ha concluso il progetto “Seventeen or Bust”. Anche allora, sono stati in grado di eliminare undici numeri.

Fortunatamente, “Seventeen or Bust” ha già collaborato con il progetto informatico volontario “PrimeGrid” nel 2010. L’obiettivo principale di PrimeGrid è far progredire la matematica consentendo agli utenti di computer di tutti i giorni di sfruttare la propria potenza di calcolo per trovare il numero primo. I numeri primi svolgono anche un ruolo importante nei sistemi crittografici come il metodo di crittografia asimmetrica RSA, motivo per cui PrimGRid è leader nella ricerca di numeri primi.

Dopo che il server si è guastato, prendi il controllo di un altro progetto

PrimeGrid ha rilevato il progetto dopo un errore del server ed è stato in grado di escludere la 12a cifra il 31 ottobre 2016 con 10223 perché era in 10223 × 2 31172165 +1 costituisce un numero primo. È lungo 9.383.761 caratteri. È il numero primo più grande trovato nella ricerca di una soluzione al problema di Sierpiński e lo rende il nono numero primo più grande conosciuto.

La figura è stata scoperta da Szabolcs Peter dall’Ungheria. Utilizza PC Windows 10 con CPU Intel i7-4770 con 3,40 GHz e 12 GB di RAM. Nonostante la sontuosa attrezzatura, il computer ha avuto bisogno di un totale di 8 giorni, 22 ore e 34 minuti per eseguire il test dei numeri primi.

Da allora, cinque cifre devono ancora essere verificate. Se qualcuno di essi (21181, 22699, 24737, 55459 e 67607) fosse un numero di Serpinski, il computer non smetterebbe mai di calcolare, poiché continuerebbe a calcolare all’infinito senza trovare alcun numero primo. Se non è, come dovrebbe essere, un numero di Sierpiński, prima o poi i calcolatori troveranno una risposta.

Non abbastanza problemi?

Nella ricerca di una soluzione al problema di Sierpiński, sono sorti altri problemi: alcuni matematici cercano anche una risposta se non esiste nemmeno k fino a k = 78557, che è il numero di Sierpiński. Finora ci sono quattro numeri pari (42362, 45398, 49474, 65536), che non possono essere esclusi come numeri di Sierpiński.

Inoltre, sono sorti anche il problema diretto di Riesel e il doppio problema di Riesel, dal nome del matematico svedese Hans Riesel. Il numero di Riesel differisce dal numero di Sierpiński alla fine del termine. Nel numero di Riesel, 1 viene sottratto alla fine anziché aggiunto. Ciò risulta in: k * 2n -1. Anche per questo si cerca ancora il numero di Riesel più piccolo – ovviamente si chiama problema di Riesel. Il numero 509203, trovato dallo stesso Hans Riesel, è il numero più piccolo trovato da Riesell fino ad oggi. Per dimostrare che è davvero il più piccolo, è necessario controllare 44 cifre.

(Riparo)