Il mondo delle formule di Freestetter: Il fiocco di neve più complesso del mondo
Fenomeni complessi possono spesso essere descritti matematicamente in modi inaspettatamente semplici. Ma dietro questa semplicità si nascondono mondi sorprendentemente diversi.
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Una varietà di cose interessanti si possono trovare nella geometria frattale. Una delle più famose è la curva di Koch, spesso chiamata fiocco di neve di Koch. Questa è una linea infinitamente lunga ma copre solo un'area limitata.
La curva viene generata attraverso un processo iterativo. Il punto di partenza è una linea retta. Nella prima fase, questo viene diviso in tre sezioni di uguale lunghezza. Ora la sezione centrale è stata sostituita da un triangolo equilatero, la cui base è la sezione centrale. Il passaggio finale consiste nel rimuovere la linea di base del triangolo (la sezione centrale originale). Pertanto, l'unica linea retta è stata sostituita da una strada a quattro sezioni.
Nel passaggio successivo si esegue la stessa sostituzione su tutte e quattro le sezioni del percorso, poi si ripete il tutto sulle 16 sezioni esistenti e così via. Se limiti un numero infinito di passaggi, otterrai una curva frattale che in realtà assomiglia a un fiocco di neve.
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Capanna del fiocco di neve
L’intero processo può anche essere descritto utilizzando la formula:
Tuttavia, per capirli è necessario un po’ di contesto. I seguenti due simboli “-” indicano che questa non è una regola aritmetica. Piuttosto, l'espressione fa parte di quello che viene chiamato il sistema Lindenmayer. Questo formalismo risale al biologo ungherese Aristid Lindenmayer, che voleva utilizzarlo per descrivere matematicamente l'evoluzione degli organismi. Il sistema Lindenmayer (o sistema L) consiste formalmente in una lista contenente un “alfabeto”, cioè caratteri che possono essere interpretati come variabili e costanti. C'è bisogno anche di un assioma o “parola iniziale” e di molte regole di produzione o sostituzione.
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Espressione strana con molto Fs è anche una base alternativa. Appartiene al sistema L della curva di Koch. I simboli “+” e “-” indicano la rotazione in senso antiorario e orario (in questo caso 60 gradi). Quindi la regola di produzione dice: avanzare di una certa distanza (F significa “avanti”), girare di 60 gradi in senso antiorario, andare ancora un po' avanti, girare due volte di 60 gradi in senso orario, andare ancora avanti, girare di nuovo di 60 gradi in senso antiorario e camminare in avanti un'ultima volta. È facile vedere che ciò fa sì che il segmento richiesto per la curva di Koch venga sostituito da un triangolo.
Dalle alghe ai frattali
Nel 1968 Aristide Lindenmayer non era interessato all'ingegneria, ma alla coltivazione di alghe. Notò che le loro cellule potevano trovarsi in due stati diversi: lo stato riproduttivo UN O in uno stato di crescita B. È in buone condizioni? UNSi dividerà in due cellule, una nello stato riproduttivo e una nello stato di crescita. Nel caso B Diventa uno stato riproduttivo UN Sviluppare. Oppure, se lo esprimi nelle regole di sostituzione appropriate: (A → a b) E (b → a). Inizi con una cella nello stato UNe quindi si sviluppa in lontano. diventa questo Abba. Allora ottieni Abbaabdopo di che Abbabababa -eccetera.
I sistemi L sono adatti per studiare la crescita di organismi multicellulari; In particolare, la crescita delle piante può essere modellata realisticamente. Tuttavia, c'è molto più potenziale in esso; Trovano applicazione nell'informatica teorica, nella geometria frattale e nello studio della vita artificiale. Anche se inizi con pochi elementi base e semplici regole, alla fine arriverai a qualcosa di straordinario. La complessità che ne può derivare non è da sottovalutare.
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